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El “teorema de las avenidas oblícuas”

por Enrique

Como muchos millones de personas en todo el mundo vivo en una zona en la que la trama urbana es (casi) perfectamente ortogonal, si exceptuamos una avenida que la atraviesa de forma oblícua1. Algo parecido a lo siguiente:
trama ortogonal

Mi casa podría ser el punto rojo pequeño que hay en el centro del gráfico; el punto rojo mayor es una plaza, en la que se concentran una gran parte del comercio, transporte público, etc. El esquema es relativamente ficticio – pero podría valer para cualquier “caso general”, y además el tema que hoy me ocupa no depende de su exactitud.

La pregunta que hoy nos hacemos, y que muchas veces me he hecho personalmente, es: ¿Es más corto ir por la avenida oblícua desde la plaza a mi casa (camino A) o por las calles ortogonales (camino B)? Y, sobre todo, ¿por qué?

punto-a-punto

Lo que de verdad me intrigaba es el porqué; parece “evidente” que es más corto seguir el camino A que el B, aunque sólo sea porque la oblícua se aproxima más a la línea recta (que como todos sabemos es el camino más corto entre dos puntos en un plano); la intuición así nos lo dice y como veremos no nos engaña (al menos esta vez). Pero… ¿Por qué? ¿Podemos demostrarlo?

Sí, podemos. Le he estado dando vueltas al tema y creo que he encontrado una forma de hacerlo. Quizás no es perfecta, y seguro que no es la mejor, pero funciona2.

Para empezar vamos a generalizar el problema. Nos olvidamos de mi barrio y de su plaza e intentaremos demostrar   que la distancia más corta entre A y C (del siguiente esquema) es la que sigue el camino ABC, y no la que transcurre por ADC. Además así nuestro planteamiento será válido con independencia del “grado de inclinación” del tramo oblícuo, sólo será necesario (1) que BC y AD sean paralelas y (2) que los ángulos C y D sean rectos. Vamos, que si esta demostración pasara a la historia podría hacerlo como el “teorema de la ruta más corta en un barrio ortogonal con una calle oblícua”. ¡Bonito nombre!

camino-mas-cortoBien, empecemos. Tenemos que:

  • Los segmentos BC y (D-x) son iguales entre sí, como también lo sonlos CD e y. Ya lo demostraron Tales y Euclides y no voy yo a llevarles la contraria ahora.
  • Dado lo anterior podemos “reescribir” los recorridos de la siguiente forma:
  1. Camino A (verde) = ABC =  AB+BC
  2. Camino B (azul) = ADC = AD+DC = x + BC + y
  • Por lo tanto, sólo tendríamos que comprobar si AB < (x + y) para demostrar que, como intuimos, el camino ABC es más corto que el ADC.

He de reconocer que llegado este punto me atasqué un poco, pues no se me ocurría la forma de hacerlo; el teorema de Pitágoras nos dice que la suma del cuadrado de los catetos es igual al cuadrado de la hipotenusa… pero por ese camino sólo conseguí hacerme un buen lío; y lo que yo buscaba era otra cosa: una forma de “demostrar” que la hipotenusa es menor que la suma de los catetos.

Hasta que caí en que…

Según el teorema de desigualdad triangular la longitud de cualquiera de los lados de cualquier triángulo es siempre inferior a la suma de la de los otros dos3. 4

Justo lo que estábamos buscando: según dicho teorema AB es menor que x + y, por lo que el camino que intuíamos más corto es más corto.

Otra forma de verlo

Cuando ya tenía prácticamente terminado el texto de estra entrada se me ocurrió que existe otra forma de llegar a la misma conclusión y basándose en un procedimiento muy similar – pero posiblemente un poco más sencilla de entender. A estas alturas ya no voy a reescribir todo lo anterior, pero sí he decidido hacer otro gráfico y dejar constancia somera de ella:

Si lo planteamos de la forma que aparece en el esquema de más abajo, y según el mismo teorema de desigualdad triangular (además del “sentido común”, si de algo sirve aquí), el camino AB ha de ser más corto que el camino AEB. Por lo tanto (y no me extenderé en los pasos intermedios) también queda demostrado que ABC < ADC.

camino-mas-corto-2Pues eso es todo por hoy, aunque me he quedado dándole vueltas a la relación que guarda el ángulo B con el ahorro de distancia (parece que cuanto mayor sea el ángulo mayor es el “atajo”, ¿verdad?), y creo que no sería difícil calcularla numéricamente con un poco de trigonometría básica. Quizás otro día: ya es tarde… y además este márgen es demasiado estrecho para contener mi análisis.

Feliz navidad.

  1. No; no vivo en Barcelona ↩
  2. No soy matemático, ni mucho menos. Perdón adelantado por la “cutrez” de mi análisis, cualquier comentario o sugerencia será bienvenida ↩
  3. Pero mayor que su diferencia ↩
  4. No voy a demostrarlo aquí, pero si alguien tiene interés puede encontrar más información en la Red. ↩
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