El problema de Mayra (… y de Monty Hall)
Lo que voy a contar generalmente es conocido como “el problema de Monty Hall”, en honor a un presentador del veterano programa de televisión americano “Let’s make a Deal”. Apareció por primera vez en la columna de Marilyn vos Savant, de la revista “Parade”; cuando se publicó la solución miles de personas (incluyendo un buen número de profesores de matemáticas) escribieron a la revista manifestando su desacuerdo; no en vano se le llama también “la paradoja de Monty Hall”, pues su solución parece absurda – pero es cierta y demostrable; según el esquema de Quine se trata de una “paradoja verídica”.
[Es que algunas paradojas... "es lo que que tienen"; que la intuición y la lógica pueden ir cada una por su lado. Por eso nada más adecuado para Intuición Lógica, mi blog, que recordar a Monty Hall].
Lo que sigue es sólo una adaptación hecha por mí. Aún a riesgo de desvelar que ya no soy un adolescente lo he adaptado al veterano programa de TVE “Un, dos, tres, responda otra vez” (que creo que se ajusta muy bien al planteamiento original) y he utilizado el nombre de la que fue su presentadora durante los años 80, Mayra Gómez-Kemp. Para que se vea que tampoco soy un anciano, haré constar que consideré seriamente presentarlo como “el problema de Jesús Vázquez”, pues también podría aplicarse al programa “Allá tú”. Y a muchos otros similares.
Basta de preámbulos y vamos con el
Problema:
Imagínese que participa en el concurso de televisión “Un, Dos, Tres” y ya ha llegado al final de la subasta. Sólo quedan ante usted tres puertas; sabe que detrás de una hay un maravilloso coche, y que en las otras dos sólo hay una calabaza y otro premio mínimo (¡queremos el coche!).
Elige usted una puerta, por ejemplo la primera. Como siempre sucede a estas alturas del juego, una vez elegida Mayra abre otra (por ejemplo la segunda; ella sí sabe qué hay detrás de cada una) y descubre que contiene… ¡un maravilloso balón de reglamento! (… el programa de hoy giraba en torno al fútbol, así es la vida): o sea, una porquería de regalo, que afortunadamente ya no va usted a “ganar”.
Entonces Mayra le da la opción de cambiar, y le ofrece quedarse con lo que oculta la tercera puerta en vez de la primera, que es la que había elegido anteriormente. Tenemos la certeza de que en una de estas dos hay un coche (que es lo que buscamos) y en la otra una calabaza.
La pregunta es: ¿Cambiaría usted de puerta? ¿Mantendría su elección inicial? ¿… O cree que da igual? . Dicho de otra forma: ¿Es conveniente, inconveniente o indiferente aceptar la oferta de cambio que hace la presentadora?
¡¡Piénselo BIEN antes de seguir leyendo!!
Solución:
Seguramente habrá pensado que es indiferente cambiar de puerta, ya que a fin de cuentas, y una vez abierta la tercera, quedan “un coche y dos puertas” – por lo que la posibilidad de que el coche esté en tras la primera es la misma de que esté tras la tercera: el 50% en cada caso.
Pues si ha pensado eso está equivocado. No es así.
Es cierto que una vez la presentadora ha abierto una puerta el coche debe estar tras una de las dos que quedan. Es cierto que el concursante no puede saber cuál de las dos es la adecuada, aunque Mayra lo sepa. Pero NO es cierto que cada una de ellas tenga la misma probabilidad, y por lo tanto tampoco es cierto que “de igual” cambiar de puerta o no. Esta suposición se basa en la intuición, pero no es lógicamente correcta. De hecho las posibilidades de ganar el coche se duplican (pasando de 1/3 a 2/3) si aceptamos la oferta de cambiar de puerta.
No voy a analizar en demasiado detalle sobre los porqués; existe muchísima información sobre este problema en Internet por si alguien quiere hacerlo. Pero sí resaltaré algunas cosas:
- A menudo las objeciones a la solución se basan en que el pasado es irrelevante al calcular posibilidades. En este caso no es así: la presentadora elige qué puerta abrir en función de la elección hecha por el concursante; Mayra no abre una de las dos puertas de forma aleatoria.
- Otro posible motivo de confusión es sobreentender que Mayra sorprende al concursante al abrir la segunda puerta, y que pretende engañar al ofrecer la posibilidad de cambiar. Tampoco esto es así: hemos especificado que estos movimientos forman parte de las reglas del juego y que se repiten en todos los programas.
No cabe duda de que la solución al problema es contraria a la intuición y difícil de digerir. Existen varias formas de ayudar a entenderla, una de ellas es ayudarse de un árbol de decisión como el que mostramos a continuación – y en el que, para simplificarlo un poco, consideraremos que la elección del balón y la de la temida calabaza “Ruperta” son equivalentes: malas decisiones, “marrones”, a los que llamaremos “marrón 1” y “marrón 2” – sin más.
En los dos primeros casos, en los que el concursante ha elegido mal (un marrón), cambiar de puerta conseguirá el coche; en los casos tercero y cuarto, como el concursante ha elegido el coche el cambio será una mala decisión. La probabilidad total de que el cambio de puerta sea a mejor es la suma de los dos primeros sucesos (1/3 + 1/3 = 2/3); la probabilidad de que sea a peor es la suma de los dos últimos (1/6 + 1/6 = 1/3). Cambiar de puerta duplica nuestras posibilidades de llevarnos el coche.
Otra forma de entenderlo a la que se recurre frecuentemente es suponer que en vez de tres hay 100 puertas. Tras elegir una, Mayra nos enseña lo que hay detrás de 98 puertas (y todo son “marrones” de diferentes tipos), quedando sólo cerradas nuestra puerta y otra. ¿Cambiaría usted de puerta en este caso? – Es evidente que sí, pues aquí se ve más fácilmente que la puerta que habíamos elegido en principio tiene una probabilidad entre 100 de tener el coche – y la otra 99 entre 100.
¿Aún no está convencido? – Bien, no quisiera parecer demasiado agresivo, pero… si usted no se lo cree no es mi problema: estamos hablando de un hecho, no de una opinión. Siempre queda la posibilidad de comprobarlo uno mismo en alguno de los simuladores que existen en la Red, por ejemplo aquí o aquí, e ir viendo cómo evolucionan los contadores que tienen incorporados. En sólo cinco minutos hasta la persona más “intuitiva” y menos “lógica” tendrá que aceptar lo que venimos diciendo.
Sencillamente porque es cierto.
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